SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS


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1 SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es de la forma: a b c ' ' ' con a b c a b c números reales conocidos ' ' ',,,,,. a b c Una solución del sistema es un par de valores, que, sustituidos en lugar de e, cumplen todas las igualdades. Las soluciones pueden encontrarse resolviendo el sistema por cualquiera de los métodos conocidos: reducción, sustitución o igualación. Al resolver un sistema lineal se da siempre una de estas tres situaciones:. Tiene solución única, es decir un solo valor para un solo valor para. Se llama sistema compatible determinado.. Tiene infinitas soluciones. Se llama sistema compatible indeterminado.. No tiene soluciones. Se llama sistema incompatible. Ejemplo: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: ( S. C. D.) ( S. C. I) ( S. I.) 0 Sistemas lineales. Transformaciones elementales. Consideremos un sistema lineal con cualquier número de ecuaciones de incógnitas. La forma general de escribirlo si tiene m ecuaciones n incógnitas es: a a... a n n b a a... an n b donde,,..., n son las incógnitas, aij bi números conocidos... am am... amn n b m Una solución es un conjunto de valores,,..., n n que, sustituidos en el sistema, verifican todas las igualdades. Dos sistemas se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones. Se puede comprobar fácilmente que las siguientes transformaciones elementales convierten un sistema en otro equivalente:. Cambiar el orden de las ecuaciones.. Multiplicar los dos miembros de una ecuación por un número no nulo.. Sumar (o restar) a una ecuación cualquiera de las otras, multiplicada por un número. Igual que ocurre con los sistemas de dos ecuaciones, un sistema lineal cualquiera está siempre en uno de estos tres casos: o no tiene solución (incompatible), o tiene solución única (compatible determinado) o tiene infinitas soluciones (compatible indeterminado). Método de Gauss. El método de Gauss consiste en aplicar al sistema de ecuaciones inicial, las transformaciones elementales dadas anteriormente, para obtener un sistema equivalente, pero con ecuaciones con menos incógnitas, por tanto más fácil de resolver. Ejemplo:

2 Tomo la primera ecuación multiplicada por la segunda multiplicada por (-) tomo la primera ecuación multiplicada por la tercera multiplicada por (-) 0 0 ; Con lo cual a he eliminado la variable sólo tengo dos ecuaciones con dos incógnitas. Y conocido el valor de fácilmente se calcula = ; = Ejemplo: Resolver por Gauss los siguientes sistemas de ecuaciones: (...) (.. ) (. ) 0 S C D S C I S I Ejercicio: resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: Sistemas no lineales: Para resolver un sistema que no es lineal no eisten métodos generales; cuando es posible, se despeja una incógnita en una de las ecuaciones se sustitue en las otras. Ejemplo: 0 tan tan 0 0 to por to por Ejercicio: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales: PROBLEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES. Dos números suman 0 su cociente eacto es. Hallarlos.. Hallar dos números sabiendo que su suma es que el cuadrado de uno más el otro es.. Hallar dos números, sabiendo que su diferencia es igual a, que al dividirlos, el cociente es el resto. º Ecuación - ª Ecuación

3 . Un coche sale de A, a 0 Km/h. Dos horas después sale del mismo punto, otro coche a 0 Km/h. Hallar a qué distancia de A alcana el segundo coche al primero el tiempo que tarda en conseguirlo.. Dos pueblo, A B se encuentran separados por 0 km. Un ciclista sale de A hacia B a 0 Km/h al mismo tiempo otro ciclista sale de B hacia A a 0 Km/h. A que distancia de A se encuentran?, Cuánto tiempo tardan en encontrase?. Dos números suman sus inversos, /. Hallarlos.. Las dos cifras de un número suman. Si se invierte el orden de las cifras, el número disminue en. Qué número es?. Se quiere distribuir un lote de libros entre varias personas. Si a cada una se le dan, sobran libros, si a cada una se le asignan, faltan libros. Cuántas personas cuántos libros ha?. Una aleación contiene 0 gramos de oro 0 gramos de cobre, otra, 00 gramos de oro 0 de cobre. Qué cantidad deberá tomarse de cada una para formar 00 gramos de milésimas de le? 0. Un tren de 00 metros de longitud, al entrar en un túnel, tarda segundos, desde que entra la locomotora, hasta que sale el último vagón, sólo segundos, desde que entra en último vagón hasta que sale la locomotora. Calcula la velocidad de tren( en m/s) la longitud del túnel.. En una granja avícola hacen pienso meclando trigo, cebada avena. La primera ve utilian 0 ferrados de trigo, 0 de cebada 0 de avena resulta un precio total de 00 ptas. La segunda ve utilian ferrados de trigo, de cebada 0 de avena resulta un precio total de 000 ptas. Finalmente se utilian ferrados de trigo, de cebada de avena el precio total es de 00 ptas. Cuál es el precio del ferrado de cada componente?. Una empresa dispone de 0 euros para actividades de formación de sus 00 empleados. Tras estudiar las necesidades de los empleados, se ha decidido organiar tres cursos: A, B, C. La subvención por persona para el curso A es de 00 euros, para el B es de 0 euros de 00 euros para el C. Si la cantidad que se dedica al curso A es cinco veces maor que la correspondiente al B, cuántos empleados siguen cada curso?. Los estudiantes de cierto curso venden camisetas, gorras banderines para audarse a pagar un viaje. Cada camiseta se vende a 0 euros, cada gorra a, euros cada banderín a, euros. Los costes de cada prenda son de euros por camiseta, 0, euros por gorra euro por banderín. El beneficio obtenido es de euros el gasto es de 0 euros. Sabiendo que se han vendido un total de 0 unidades en conjunto, calcula cuántas se han vendido de cada clase.. Hallar un número de tres cifras, sabiendo que suman, que si al número buscado se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia es ; que además, la cifra de las decenas es media aritmética de las otras dos.. Dos torres, una de 0 metros otra de 0 metros, están separadas 0 metros. Entre las dos torres se encuentra una fuente hacia la que descienden dos pájaros que están en las almenas de las torres. Yendo con igual velocidad llegan al mismo tiempo. A qué distancia de las torres se encuentra la fuente? EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES.. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: a. b) 0 c) d) 0

4 . En una biblioteca se compran cada mes revistas de Historia, de Ciencias de Deportes. Las revistas de Historia cuestan euros cada una, las de Ciencias, euros las de Deportes euros. Si en total se compran revistas se gastan, euros, cuántas revistas de cada tipo se compran, sabiendo que las revistas de Deportes suponen la tercera parte que las de Historia?. En una dulcería envasan bombones en cajas de 0g, 00g kg. Un día envasaron 0 cajas en total, habiendo más de tamaño pequeño que de tamaño mediano. Si el precio del kilo de bombones es de el importe total de los bombones envasados asciende a 0 sabrías decir cuántas cajas se han envasado de cada tipo?. Una editorial edita libros, revistas periódicos. Por cada libro editado cobra euros, por cada revista cobra la mitad que por un libro, por cada periódico la cuarta parte que por un libro. Si un día ha editado 0 ejemplares ha recaudado 000 euros, cuántos ejemplares ha editado de cada tipo, sabiendo que se editan tres veces más periódicos que revistas.. Un caballo un mulo caminaban juntos llevando sacos sobre sus lomos. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: De que te quejas?. Si te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tua. En cambio, si te do un saco, tu carga se igualaría a la mía Cuántos sacos llevaba el caballo?, el mulo?. PROBLEMAS PARA REPASO CON SOLUCIONES. Encuentra un número de cifras, sabiendo que la suma de ellas es, si a la cifra de las centenas le restas la de las decenas obtienes las de las unidades que la cifra de las unidades es la de las decenas más uno. Sol:. Calcula las edades de hermanos que sumadas dan 0. Si restamos las edades de los dos maores obtenemos la del menor menos si sumamos las de los dos menores da. Sol:, 0,. En º de Bachillerato ha cursos: A, B C. Calcula el número de alumnos por curso si en total ha alumnos, además si sumamos los alumnos de los dos cursos de Humanidades obtenemos el doble de los de Ciencias si los restamos la diferencia es de alumnos. Sol:,,. Las edades de una familia formada por los padres una hija suman años. Halla la edad de cada uno de ellos sabiendo que la edad de la madre es triple de la edad de la hija que las edades del padre de la hija difieren en años. Sol: El padre tiene años, la madre años la hija años. Una agencia de alquiler de coches, utilia sólo tres marcas de vehículos para su alquiler. Si en total dispone de coches se sabe que los de la marca C son el doble que los de la marca A B juntos que el triple de los coches de la marca A coincide con el cuádruple de la marca B, cuántos coches ha de cada marca? Sol: A(),B() C(). En un quiosco se venden cada mes revistas de Bricolaje, de Ciencias de Decoración. Las revistas de Bricolaje cuestan euros cada una, las de Ciencias euros las de Decoración euros. Si en total se compran revistas se gastan euros, cuántas revistas de cada tipo se compran, sabiendo que las revistas de Decoración suponen la cuarta parte que las de Bricolaje? Sol: de Bricolaje, de Ciencias de Decoración. Una compañía de discos saca al mercado CD de grupos distintos. Por cada disco del grupo A cobra 0 euros, por cada disco del grupo B la mitad, por cada disco del grupo C el % de lo que cuesta el A. Si un día ha vendido 0 CDs ha recaudado 00 euros, cuántos ejemplares han vendido de cada grupo, sabiendo que se vendieron el doble del grupo C que del B?. Sol: A (0), B(0), C(00). Una tienda de ropa vende camisetas, plaeras pantalones. Cada camiseta se vende a 0 euros, las plaeras a euros cada pantalón a euros. El beneficio obtenido es de 0 euros el gasto es de 00 euros. Sabiendo que se han vendido un total de 00 unidades en conjunto que se vendieron el doble de plaeras que de pantalones, calcula cuántas se han vendido de cada clase. Sol: 0 camisetas, 0 pares de plaeras 0 pantalones.

5 INECUACIONES LINEALES Las inecuaciones epresan desigualdades, están por tanto asociadas a los símbolos maor que (>), maor o igual que ( ), menor que (<) menor o igual que ( ). Las inecuaciones reflejan situaciones contrarias a las igualdades o ecuaciones, es decir, epresan situaciones en las que no se llega o se sobrepasa un valor determinado. El uso de inecuaciones se hace necesario como una de las técnicas matemáticas asociadas a la resolución de problemas económicos, sociales tecnológicos que estudiaremos el próimo curso dentro del tema Programación Lineal. Inecuaciones de primer grado con una incógnita Son desigualdades formadas por dos epresiones algebraicas de primer grado cuas soluciones son todos los valores que hacen cierta la desigualdad. Por ejemplo: ( -) < + Para resolver una inecuación procedemos de forma análoga a la resolución de ecuaciones de primer grado, pero teniendo en cuenta las propiedades de las desigualdades, es decir: Si se multiplica una desigualdad por un número negativo, el sentido de la desigualdad varía. <, si multiplicamos la desigualdad por (-) tenemos: - > - > -, si multiplicamos por (-) : - < Es mu importante tener presente esta propiedad en la resolución de inecuaciones, para poder determinar correctamente el intervalo en el que se encuentran las soluciones: Por ejemplo: a) ( -) < + b) - + < + - < < - - < + - < < 0 > = - < 0 Sol: (-, 0) Sol: (-, ) Al dividir por un número negativo se cambia el sentido de la desigualdad Solución: Todos los números reales menores que 0 Solución: Todos los números reales maores que -. Resuelve las inecuaciones siguientes, epresando las soluciones en forma de intervalo. a) d) 0 b) e) Inecuaciones de segundo grado con una incógnita f) c) Son epresiones del tipo a + b + c > 0, a + b + c 0, a + b + c < 0, a + b + c 0 Para resolverlas debemos resolver previamente la ecuación asociada a esta epresión. Tomamos las soluciones las colocamos en la recta real posteriormente comprobamos las soluciones por tanteo dentro de los intervalos en los que quede dividida la recta. Por ejemplo:

6 Resolver 0 Ecuación asociada: 0 Soluciones : = = Colocamos las soluciones de la ecuación en la recta real: Es obvio que en los valores de = = la inecuación se cumple, puesto que el valor es 0. Debemos comprobar que signo toma en valores que estén en los intervalos determinados por las soluciones, entonces: Si = 0 Si = Si = Signo (+) Signo (-) Signo (+) Como debíamos resolver una inecuación donde se buscaba valores menores o iguales que cero, quiere decir que la solución es el intervalo donde el signo es negativo. Así, la solución de la inecuación es [,] Se toma el intervalo cerrado pues la desigualdad es, es decir, inclue a las soluciones de la ecuación.. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado, epresando las soluciones en forma de intervalo: a) -- >0 b) - 0 c) 0 d)- 0 e) -+ > + f)- +-<-- g)(-)(+)>0 h) (-)(+) 0 i) (-)<0. Resuelve: a) 0 b) 0 c) 0 d) < 0. Traduce a lenguaje algebraico: a) El triple de un número más unidades es menor que 0. b) El cuadrado de un número es menor que el doble de ese número más. c) Si creciera cm., superaría la estatura que se requiere para entrar en el equipo de baloncesto, que es 0 m. d) Si mi dinero aumentara el triple me tocaran.000 tendría, por lo menos,.000. Cuáles son los números cuo triple ecede a su doble en más de 0?.. Un padre un hijo se llevan años. Determina en qué periodo de sus vidas la edad del padre ecede en más de años al doble de la edad del hijo.. En un rectángulo un lado es cm. menor que el otro. Para qué dimensiones del rectángulo es el área maor que cm?. Una fábrica paga a sus viajantes 0. por artículo vendido además una cantidad fija de 00. Otra fábrica de la competencia paga por artículo 0 fijos. Cuántos artículos debe vender el viajante de la competencia para ganar más dinero que el primero?.. Un aforismo indio afirma que para que una relación sentimental sea satisfactoria, la edad de ella no debe sobrepasar la mitad más años de la edad de él. Cierto galán tiene 0 años más que su dama. Cuál es para ellos el periodo más favorable según esta regla?. 0. Una empresa de alquiler de coches cobra fijo más 0. por km. recorrido. Otra empresa no tiene canon fijo, pero cobra 0 0 por km. recorrido. A partir de cuántos km. es más económica la primera? Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas Son epresiones equivalentes a a +b < c Se resuelven representando la función afín correspondiente: a +b = c

7 Ésta divide al plano en dos semiplanos. Tomamos un punto en uno de los dos comprobamos si verifica la desigualdad. Por ejemplo, + > Representamos la recta + =, es decir, = - = - 0 Semiplano solución (-,) = -, = (-) + < Entonces las soluciones están en el otro semiplano Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Se resuelven representando conjuntamente las soluciones de los dos semiplanos de cada inecuación del sistema. La intersección de ambos es la región solución del sistema. + < - + < + = - + < = = Región solución. Representa en el plano la región solución a) + < 0 b) - 0 c) > d) + -. Calcula las soluciones de estos sistemas de inecuaciones a) + < 0 b) > Escribe un sistema de inecuaciones que represente la región marcada a) b) X - X Y Y. Un comerciante cafetalero quiere meclar café de el kilo con otro de el kilo para obtener una mecla de calidad intermedia cuo precio no pase de el kilo. Si le encargamos 0 kilos de esta mecla Qué cantidad de café debe contener de cada tipo?

8 . He tomado un tai para ir al cine. Después de marcar por la bajada de bandera, me di cuenta de que sólo llevaba. Si la entrada al cine cuesta, cada paso del contador del tai son 0 cuántos pueden ser el número de pasos del contador para poder entrar al cine?. Un comercio de La Coruña paga a sus empleados de comisión por cada camiseta vendida un sueldo fijo de 00 mensuales. En otro negocio de la competencia en Ferrol se paga por cada camiseta 00 de sueldo fijo al mes. a) Si dos empleados han vendido 0 camisetas en septiembre en cada tienda dónde cobrará más? b) Para qué número de camisetas vendidas es preferible trabajar en Ferrol? c) Si te ofrecen trabajar en las dos tiendas Dónde preferirías emplearte? Por qué?. Sabemos que el agua a partir de 0º se presenta en estado líquido. Si llamamos t a la temperatura del agua. Qué condición debe cumplir t si tenemos el agua en estado sólido?

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